第六章 二阶矩过程的数学分析

6-1 离散时间随机过程的均方收敛

概率分布意义上相等：概率分布函数恒等：$F_X(t)\equiv F_Y(t)$

概率意义上相等（几乎处处相等）：事件发生概率相等：$P\{X=Y\}=1$

均方意义上相等：X 与 Y 的二阶矩存在且满足 $E\{|X-Y{|}^2\}={\int }_{{\mathbb{R}}^2}|x-y{|}^2{f}_{XY}(x,y)dxdy=0$（即均方收敛）

Loève准则：$X_n$ 均方收敛 当且仅当 序列 $X_n$ 的自相关函数 $R_X[n_1,n_2]$ 满足 ${\lim }_{n_1,n_2\to \infty }{R}_X[n_1,n_2]=C$，C 为常数。

若 $X_n$ 均方收敛至 $X$，则 $$E\{X\}=E\{ms\underset{n\to \infty }{\lim }{X}_n\}=\underset{n\to \infty }{\lim }E\{X_n\},\underset{n\to \infty }{\lim }E\{X_n-X\}=0$$

6-2 连续时间随机过程的均方连续

对于设有定义于时间指标集 $\mathbb{T}$ 上的连续时间随机过程 $X(t),\mathbb{T}$ 是 $\mathbb{R}$ 或某个区间 $[a,b]$，若对 $t_0\in \mathbb{T}$，当 $t\to t_0$ 时有 $$\mathrm{ms}\underset{t\to t_0}{\lim }X(t)=X\left(t_0\right)$$ 则称随机过程 $X(t)$ 在 $t_0$ 点均方连续; 若对 $\mathbb{T}$ 内任意一点 $t_0,X(t)$ 都在 $t_0$ 点连续，则称 $X(t)$ 在 $\mathbb{T}$ 上均方连续。

性质：若 $X(t)$ 为宽平稳过程，则 $X(t)$ 在 $\mathbb{T}$ 上均方连续，当且仅当 $R(\tau )$ 在 $\tau =0$ 点连续。

6-3 连续时间随机过程的均方导数

设有定义于连续时间指标集 $\mathbb{T}$ 上的随机过程 $X(t)$，若有 $${\mathrm{ms}}_{\tau \to 0}\frac{X\left(t_0+\tau \right)-X\left(t_0\right)}{\tau }=Y\left(t_0\right)$$

则称 $X(t)$ 在 $t_0$ 点均方可导，并称 $Y\left(t_0\right)$ 为 $X(t)$ 在 $t_0$ 点的均方导数，$Y\left(t_0\right)$ 有时也记为 $\mathrm{d}X\left(t_0\right)/\mathrm{d}t、X^{\prime }\left(t_0\right)$ 或 $X^{(1)}\left(t_0\right)$ 。若对任意 $t_0\in \mathbb{T},X(t)$ 都均方可导，则称 $X(t)$ 在 $\mathbb{T}$ 上 均方可导。

也即： $$\underset{\tau \to 0}{\lim }E\left\{{\left[\frac{X\left(t_0+\tau \right)-X\left(t_0\right)}{\tau }-Y\left(t_0\right)\right]}^2\right\}=0$$

$X(t)$ 在 $t_0$ 点的 $n$ 阶均方导数可以递归地定义为 $$\frac{{\mathrm{d}}^{n}X\left(t_0\right)}{\mathrm{d}{t}^n}=X^{(n)}\left(t_0\right)={\mathrm{ms}}_{\tau \to 0}\frac{X^{(n-1)}\left(t_0+\tau \right)-X^{(n-1)}\left(t_0\right)}{\tau }$$

$$X^{\prime }(t)=\frac{\partial f(A,t)}{\partial t}$$

6-3 连续时间随机过程的均方积分

可积的证明，可以先算出 $X(t)$ 的积分为 $Y(t)$，然后再证明 $Y(t)$ 的导数为 $X(t)$，以及 $Y(0)=0$ 即可