电路

1 电路模型和电路定律

1-1 电路模型

• 实际电路：为完成预期目的而由电路部件和电路器件相互连接而成的电流通路装置。

  • 电源：电能和电信号的发生器
  • 负载：用电设备
  • 激励：一般称电源为激励
  • 响应：由激励在电路中产生的电压、电流

• 电路模型：电路模型是由理想电路元件相互连接成的一个系统。

  • 理想元件：由具有确定电磁性质并用精确数学定义表示。各理想元件的端子是用理想导线连接起来的。理想元件分为二端，三端，四端元件等。

• 建模：用理想电路元件或它们的组合模拟实际器件就是建立其模型，简称建模。 > 建模时必须考虑电路工作条件。

具有相同电磁性能的实际电路部件，可用同一电路模型表示。 > 例如：线圈需考虑电阻效应。

1-2 电流、电压、电功率和能量

电流：单位时间内流过的电荷量$i=\frac{dq}{dt}$

电压：单位点电荷从一点移动到另外一点所做的功$u=\frac{dW}{dq}$

功率：单位时间内做的功p=ui

求得功率必须标注吸收or发出

已知为吸收，则答案为负

能量：$W=\int pdt=\int ui$

1-3 电流和电压的参考方向

规定正电荷运动方向为电流的实际方向

• 指定电流参考方向：任意假定一个正电荷运动的方向为电流的参考方向

• 参考方向与实际方向的关系：一致为正，相反为负

• 参考方向的表达方式：

  1. 用箭头表示（在图中）
  2. 用双下标表示，例：$i_{AB}$表示电流的参考方向是由A到B

• 规定电压的实际方向从高电位指向低电位，即电位降低方向。

• 用正极性（+）表示高电位，负极性（-）表示低电位，正极指向负极就是电压的参考方向。

• 参考方向与实际方向的关系：一致为正，相反为负

• 电压参考方向的三种表示方法：

  1. 用箭头表示（在图中）
  2. 用正负极性表示（在图中+—）
  3. 用双下标表示：$u_{AB}$（从A指向B）

关联参考方向：元件或支路的u，i采用相同参考方向称为关联参考方向。反之，称为非关联参考方向。（指电压电流方向是否一致）

电压源：电流从+到-为关联

特别注意：

1. 分析电路前必须指定电压和电流的参考方向。
2. 参考方向一经指定，必须在图中相应位置标注（包括方向和符号）
3. 参考方向不同时，其表达式相差一个符号，但电压、电流的实际方向不变

电功率和电流电压参考方向的关系：元件吸收能量时为关联参考方向，反之元件释放能量。

为关联参考方向时：ui表示元件吸收的功率，p>0表示实际吸收功率，p<0表示实际发出功率。

为非关联参考方向时：ui表示元件发出的功率，p>0表示实际发出功率，p<0表示实际吸收功率。

对完整电路，发出功率=吸收功率

1-4 电阻

电阻元件的元件特性：u与i的代数关系f(u,i) = 0。

线性电阻元件：在电压与电流取关联参考方向时，两端的电压和电流服从欧姆定律 u = Ri，R为电阻元件的参数，称为电阻。

• 电阻的单位为Ω（欧姆，简称欧）。

• $i=\frac{u}{R}=Gu$

• $G=\frac{1}{R}$称为电阻元件的电导，单位是S（西门子，简称西）

• 若电压、电流参考方向取非关联参考方向，则u = -Ri或i = -Gu

• 电阻元件的特性称为伏安特性，是一条通过原点的直线。

注意：

1. 欧姆定律：只适用于线性电阻（即R为常数）
2. 电压与电流参考方向非关联时，欧姆定律表示为u = -Ri或i = -Gu
3. 线性电阻是无记忆、双向性的元件

公式和参考方向必须配套使用，有关电压单流的表达式都是在指定参考方向下给出的

• 电阻元件的吸收功率为$p=ui=i^{2}R=\frac{u^2}{R}$

  • 表明电阻元件在任何时刻总是吸收功率。
  • 线性电阻是耗能元件。

• 电阻元件从$t_0$到t时间内吸收的电能为${\int }_{t_0}^{t}R{i}^2\xi d\xi$

开路和短路：

1. i = 0， u $\ne 0$，称此段电路处于开路；
2. u = 0， i $\ne 0$，称此段电路处于短路。

1-5 电压源和电流源

电源有两种：电压源和电流源

电源与电路关联则吸收功率，非关联则发出功率

电压源：提供电压的电源，如电池，发电机等

• 电压源通用符号：⚪、竖线、正负极（参考电压）

• 电压源的特点：

1. 电压由自身确定，电流由外电路确定
2. 不能短路

电流源：提供电流的电源

• 电流源通用符号：⚪、横线、箭头（参考电流）

• 电流源的特点：

1. 电压流由自身确定，电压由外电路确定
2. 不能开路

1-6 受控电源

受控电源：电压或电流受其它电压或电流控制的电源

独立电源：其电压或电流由自身产生，不受其它电压电流控制

常见受控电源：变压器、三极管、运放

受控电源分为受控电压源与受控电流源，通用符号为将原有⚪改为菱形

受控源有四种类型：（括号中为符号旁注）

1. 电压控制电压源VCVS（ku，常数k）
2. 电流控制电压源CCVS（ki，常数k单位为Ω）
3. 电压控制电流源VCCS（ku，常数k单位为西门子）
4. 电流控制电流源CCCS（ki，常数k）

理想变压器可视为一个电压控制电压源和一个电流控制电流源

1-7 基尔霍夫电流定律（KCL）

$i_1=i_2+i_3$

流入电流 = 流出电流

电路上任一结点上电流代数和为0

广义结点：任意封闭曲线；对于任意封闭曲线，流入流出电流和为0

在同一个电路中，x个结点的KCL方程中，只有x-1个KCL方程是独立的。

1-8 基尔霍夫电压定律（KVL）

$\sum u_s=\sum u_R$

升压 = 降压 > 电场力做功与路径无关

• 在电路中，任一时刻，沿任一回路绕行，各支路电压的代数和等于零。
  • 降压取+，升压取-
  • 电流从高电压至低电压为正

KVL也适用于电路中任一假想的回路（其中补的电路需假设电阻），即非闭合电路

1-9 KCL和KVL的综合运用

KCL和KVL是电路基石 > 一般来说，每增加一个受控源，就要增加一个关于控制量的表达式

2 电阻电路的等效变换

2-1电路的等效变换

等效变换的主要作用是简化电路分析

等效变换：将电路中某一部分进行变换，变换后该部分外部端口的电压电流值都保持不变，或者说外部端口的电压电流关系都保持不变。 > 可能有多个端口

等效变换的特点：

1. 对外等效
2. 对内不等效

Y形电阻和Δ形电阻的等效变换

1. Y形电阻 = Δ形相邻电阻的乘积 ÷ Δ形电阻之和

$$R_1=\frac{R_{12}{R}_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$$

2. Δ形电阻 = Y形电阻两两乘积之和 ÷ Y形电阻不相邻电阻

$$R_{12}=\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_3}$$

2-2 电阻的串联和并联

$R_{eq}=\frac{1}{G_{eq}}=\frac{1}{G_1+G_2+G_3}=\frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}$

2-3 电压源、电流源的串联和并联

电压源串联：$u_S=\sum u_{S_k}$

电压源并联：$u_S=u_{S_k}$

只有相同的理想电压源才能并联

电流源并联：$i_S=\sum i_{S_k}$

电流源串联：$i_S=i_{S_k}$

2-4 实际电源的两种模型

实际电压源：理想电压源和电阻（内阻）串联

$u=u_s-u_R=u_s-R_{eq1}i$

实际电流源：理想电流源和电阻（内阻）并联

$u=R_{eq2}{i}_s-R_{eq2}i$

两种电源进行等效变换时：

1. 电流源等效为电压源：
   • $R_{eq1}=R_{eq2}$
   • $u_s=R_{eq2}{i}_s$
2. 电压源等效为电流源：
   • $i_s=\frac{u_s}{R_{eq2}}=\frac{u_s}{R_{eq1}}$

方向为非关联

等效时电阻通常保持不变,但其上电压、电流变化

方程不够时，可设被替换的电路原电压为u，构建假想回路列式

与电压源并联、与电流源串联的电阻对于外电路来说均可忽视

3 电阻电路的一般分析方法

3-1 回路电流法

支路：每一个二端元件称为一个支路，多个二端元件串联也可视为一条支路

结点：支路与支路的连接点称为结点。多个等电位的结点可视为一个结点

路径：从一个结点到另一个结点所经过的支路的集合

回路：起点与终点相同的闭合路径。要求中间经过的结点只能经过一次

网孔：不含有支路的回路称为网孔，KVL独立方程数=网孔数量

树：包含图G的全部结点且不包含任何回路的连通子图。树中包含的支路称为树支，而其它支路则称为该树的连支

基本回路：一个树加入一个连支后形成的回路

回路电流：将单一网孔中的回路电流单独设出，这样就不再需要列写KCL方程（结点被拆分）

回路电流的标准方程：

1. 自阻$R_k$：某一回路中所有电阻之和，永远取正号
2. 互阻$R_D$：两个回路共同所有的电阻（一般同时被自阻计算在内），互阻上两回路电流同向取正，反向取负
3. 右端电源电压$u_k$：某一回路中所有电源之和，非关联取正，关联取负（因为移项~）
4. 标准方程：$\{\begin{array}{l}{R}_k{i}_k+R_D{i}_j=u_k\\ R_j{i}_j+R_D{i}_k=u_j\end{array}$

若在互阻上两电流方向相反，则互阻项前加负号

遇到受控源时，用回路电流表示控制源作为附加方程

遇到无伴电流源时：将无伴电流源两端电压作为求解变量列入方程，其所在回路不列方程

3-2 结点电压法

结点电压：任意选择某一结点为参考结点，其它结点为独立结点，那么结点电压即独立结点与参考结点间的电压差

参考极性：独立结点为正，参考结点为负

结点电压方程：以结点电压为独立变量，列写独立结点的KCL方程（共n-1个）

在方程中用结点电压表示支路电流

自电导：接在该结点上所有支路的电导之和，总为正

互电导：两结点间所有支路电导之和，总为负

结点电压法的一般步骤：

1. 选定参考结点，标定n-1个独立结点编号
2. 对n-1独立结点，以结点电压为独立变量，列结点电压方程（设出各支路电流）
3. 求解结点电压方程，得到n-1个结点电压
4. 通过结点电压求各支路电流
5. 其它分析

遇到无伴电压源时

1. 方法一：将无伴电压源的电流作为附加变量列入KCL方程，每引入这样的一个变量，同时也增加了一个结点电压与无伴电压源电压的约束关系；
2. 方法二：将连接无伴电压源的两个结点的结点电压方程合并为一个，即取一个包含这两结点的封闭面的KCL，同时添加结点电压与无伴电压源的约束关系，其所在结点不列方程。

遇到受控源时，用结点电压表示受控源控制量

3-3 回路电流法和结点电压法的对比

回路电流法适用于独立回路较少的电路

结点电压法适用于独立结点较少的电路

4 电路定律

4-1 叠加定理

叠加定理：线性电路中，任一支路的电压或电流都等于各独立电源单独作用在此支路所产生的电压或电流的叠加

• 电压源用短路代替
• 电流源用断路代替

线性：$u=Ri,i=C\frac{du}{dt}$

4-2 替代定理

替代定理：对于任一电路，若某支路电压为$u_k$、电流为$i_k$，那么这条支路就可以用一个电压等于$u_k$的独立电压源替代，或者用一个电流等于$i_k$的独立电流源替代，或者用$R=\frac{u_k}{i_k}$的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值

替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路

4-3 戴维宁定理

等效电阻：若一端口网络中仅含线性电阻（和受控源），则可以等效为一个电阻$R_{eq}$，可以为负

求等效电阻方法：在端口加电压源，求电源电压和电流的比值

戴维宁定理：一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对于外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联来等效。此电压源电压等于端口的开路电压，记为$u_{oc}$，电阻等于端口内全部独立电源置零后（电压源变为短路，电流源变为开路）的等效电阻（即输入电阻），记为$R_{eq}$

4-4 戴维宁等效电路的求解

先求开路电压，再求等效电阻

求等效电阻：外加电源法和短路电流法

1. 外加电源法：将一端口内所有独立源置零，在端口外加电压源，则等效电阻等于外加电压源的电压和电流的比值（取非关联）
2. 短路电流法：将一端口短路，有受控源时须用此法

4-5 诺顿定理

诺顿定理：任一含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻并联组合来等效置换。电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等于该一端口的输入电阻

注意：

1. 若一端口网络的等效电阻为0，则该一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路
2. 若一端口网络的等效电阻为∞，该一端口网络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路

短路电流既可求等效电阻，又可用于诺顿定理

将各源分别作用（叠加定理）

$等效电阻=\frac{开路电压}{短路电流}$

4-6 最大功率传输定理

$R_L=R_{eq}$时取得最大功率$P_{max}=\frac{u_{oc}^2}{4R_{eq}}$

此时R中电流为$\frac{U_{OC}}{2R}$

注意

1. 最大功率传输定理用于一端口电路给定，负载电阻可调的情况；
2. 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便
3. 分母上的4！

5 动态电路的时域分析

5-1 电容元件

电容元件：储存电能的两端元件。任何时刻其存储的电荷q与其两端的电压u能用q-u平面上的一条曲线来描述。

串并联：等同于电导

线性时不变电容元件：任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成正比。

q = Cu

C = $\frac{q}{u}$ ∝ tanα

单位：F（法拉）

电容的电压电流关系：$i=\frac{dq}{dt}=\frac{dCu}{dt}=C\frac{du}{dt}$称为电容元件VCR的微分形式，其中u、i取关联方向

某一时刻i的大小取决于u的变化率，而与该时刻电压u的大小无关。

电容是动态元件

当u为常数（直流）时，i=0。

电容相当于开路，电容有隔断直流作用。

实际电路中通过电容的i为有限值，u必定为时间的连续函数。

$u(t)=u(t_0)+\frac{1}{C}{\int }_{t_0}^{t}i(\xi )d\xi$ > 某一时刻的u(t)值与-∞到该时刻的所有电流值有关

电容元件有记忆电流的作用，称电容元件为记忆元件。

研究某一$t_0$以后的u(t)，需要知道$t_0$时刻开始的电流i和$t_0$时刻电压u($t_0$)

注意：

1. 当电容的u，i为非关联参考方向时，电容元件VCR表达式前要加负号：
   • $i=-C\frac{du}{dt}$
   • $u(t)=u(t_0)-\frac{1}{C}{\int }_{t_0}^{t}i(\xi )d\xi$
2. 上式中$u(t_0)$称为电容电压的初始值，也称为初始状态。

电容的功率：$p=ui=uC\frac{du}{dt}$ 电容充电时p>0，电容吸收功率； 电容放电时p<0，电容吸收功率

因此电容为储能元件

电容的储能：$W_C=\frac{1}{2}C{u}^2(t)$

电容储能只与当时电压值有关，电压不能跃变，反映了储能不能跃变。

电容储存的能量一定大于或等于零。

积分勿忘初值

5-2 电感元件

电感元件：储存磁能的两端元件。任何时刻，磁通链$\Psi$和流过的电流i的关系可用$\Psi -i$平面上的一条曲线来描述。

串并联：等同于电阻

线性时不变电感元件任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链$\Psi$成正比。

L称为电感元件的电感，且$L=\frac{\Psi }{i}\propto tan\alpha$

单位：H（亨利）

电感的电压电流关系：$u(t)=\frac{d\Psi }{dt}=L\frac{di(t)}{dt}$称为电感元件VCR的微分形式，其中u、i取关联方向。

某一时刻u的大小取决于i的变化率，而与该时刻电流i的大小无关。

电感是动态元件

当i为常数（直流）时，u=0。

电感相当于短路。

实际电路中通过电感的u为有限值，i必定为时间的连续函数。

$i(t)=i(t_0)+\frac{1}{L}{\int }_{t_0}^{t}u(\xi )d\xi$

某一时刻的i(t)值与-∞到该时刻的所有电压值有关

电感元件有记忆电压的作用，称电感元件为记忆元件。

研究某一$t_0$以后的i(t)，需要知道$t_0$时刻开始的电压u(t)和$t_0$时刻电流i($t_0$)

注意：

1. 当电感的u，i为非关联参考方向时，电容元件VCR表达式前要加负号：
   • $u=-L\frac{di}{dt}$
   • $i(t)=i(t_0)-\frac{1}{L}{\int }_{t_0}^{t}u(\xi )d\xi$
2. 上式中$i(t_0)$称为电感电流的初始值，也称为初始状态。

电感的功率：$p=ui=L\frac{di}{dt}i$ 电流增大时p>0，电感吸收功率； 电流减小时p<0，电感吸收功率

因此电感为储能元件，也是无源元件

电感的储能：$W_L=\frac{1}{2}L{i}^2(t)$

电感储能只与当时电流值有关，电流不能跃变，反映了储能不能跃变。

电感储存的能量一定大于或等于零。

5-3 动态电路的方程

动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路

特点：当动态电路状态发生改变时，需经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个变化过程称为过渡过程。

换路：电路结构、状态发生变化

1. 支路接入或断开
2. 电路参数变化

过渡过程产生的原因：

• 电路含有储能元件L、C
• 电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。

动态电路的方程

• RC电路：$RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=u_S(t)$
• RL电路：$L\frac{di}{dt}+Ri=u_S(t)$

含有一个动态元件的线性电路，其方程为一阶线性常微分方程，称为一阶电路；

含有两个动态元件的线性电路，其方程为二阶线性常微分方程，称为二阶电路。

结论：

1. 描述动态电路的电路方程为微分方程（而非代数方程）
2. 动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数，但例如电容串联时（等效于一个电容）或电阻与电压源串联时（一阶）不等

动态电路的分析方法：

1. 根据KVL、KCL和VCR建立微分方程
2. 求解微分方程，一般使用时域分析法中的经典法

5-4 动态电路的初始条件

初始条件：电容的初始电压或电感的初始电流，即电路变量的初始值

0+：t=0动作后一瞬间 0-：t=0动作前一瞬间

确定动态电路的初始条件：动态电路的初始时间点为0+

• 电容在$0_{+}$等效反向电压源
• 电感在$0_{+}$等效反向电流源

电容电压在开关动作前后保持不变，因为充放电需要一段时间

电感电流在开关动作前后保持不变，因为充放磁需要一段时间

5-5 一阶电路的零输入响应

含电容一阶电路的零输入响应是一个电容放电的过程，电容电压随时间呈指数函数衰减，最终趋于0。

含电感一阶电路的零输入响应是一个电感释放磁能的过程，电感电流随时间呈指数函数衰减，最终趋于0。

5-6 一阶电路的零状态响应

含电容一阶电路的动态行为是一个电源向电容充电的过程，电容电压随时间呈指数函数增大，最终充满电，电容电压等于电源电压。

含电感一阶电路的动态行为是一个电源向电感充磁能的过程，电感电流随时间呈指数函数增大，最终充满磁能，电感电流等于电源电流。

5-7 一阶电路的全响应

全响应：初始电压不为零，且有独立的电压源

$u_C(t)=U_s+(U_0-U_s)e^{-\frac{1}{RC}t}=U_0{e}^{-\frac{1}{RC}t}+U_s(1-e^{-\frac{1}{RC}t})$

全响应=（稳态分量）+（暂态分量）=（零输入响应）+（零状态响应）

叠加定理

5-8 一阶电路分析的三要素法

电容：$u_C(t)=u_L(\infty )+[u_C(0_{+})-u_C(\infty )]e^{-\frac{t}{RC}}$

• $u_C(0_{+})$：要素一（初始值）
• $u_C(\infty )$：要素二（稳态值）
• RC：要素三（时间常数），常记作$\tau$

电感：$i_L(t)=i_L(\infty )+[i_L(0_{+})-i_L(\infty )]e^{-\frac{tL}{R}}$

• $i_L(0_{+})$：要素一（初始值）
• $i_L(\infty )$：要素二（稳态值）
• $\frac{L}{R}$：要素三（时间常数），常记作$\tau$

三要素公式：$f(t)=f(\infty )+[f(0_{+})-f(\infty )]e^{-\frac{t}{\tau }}$

三要素法应用步骤

1. 求初始值，根据0+状态与0-状态相同
2. 求稳态值，根据戴维宁等效或诺顿等效
3. 求时间常数$\tau$，根据等效电阻(将电源置零，从电容/电感看去)
4. 将三要素代入三要素公式

5-9 二阶电路

二阶电路的方程：为二阶线性常微分方程

• 当$u_S(t)=0$时，二阶电路方程为齐次方程
• 当$u_S(t)\ne 0$时，二阶电路方程为齐次方程

二阶电路的零输入响应：$LC\frac{d^2{U}_C}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=0$ 这是一个齐次方程，由于输入激励项为0，所以$U_C$以及其他电路变量称为零输入响应

零输入响应的三种情况

1. $R>2\sqrt{\frac{L}{C}}$即特征根为相异负实根，又称过阻尼，非振荡放电，$u_C=A_1{e}^{p_{1}t}+A_2{e}^{p_{2}t}$
2. $R=2\sqrt{\frac{L}{C}}$即特征根为相等负实根，又称临界阻尼，非振荡放电，$u_C=A_1{e}^{-\delta t}+A_2{e}^{-\delta t}$
3. $R<2\sqrt{\frac{L}{C}}$即特征根为共轭负实根，又称欠阻尼，振荡放电，$u_C=A{e}^{-\delta t}sin(\omega t+\beta )$

由初始条件$\{\begin{array}{l}{u}_C(0_{+})\\ \frac{d{u}_C}{dt}(0_{+})\end{array}$确定常数

二阶电路零状态响应和全响应

• 微分方程：$\{\begin{array}{l}LC\frac{d^2{u}_C}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=U_S\\ u_C=u_C^{\prime }+u{"}_C\end{array}$
• 特征方程：$LC{p}^2+RCp+1=0$
• 特解：$u_C^{\prime }=U_S$
• $u_C$解答形式：
  1. $u_C=A_1{e}^{p_{1}t}+A_2{e}^{p_{2}t}(p_1\ne p_2)$，过阻尼非振荡充放电
  2. $u_C=A_1{e}^{-\delta t}+A_2{e}^{-\delta t}(p_1=p_2=-\delta )$，临界阻尼非振荡充放电
  3. $u_C=A{e}^{-\delta t}sin(\omega t+\beta )(p_{1,2}=-\delta -\pm j\omega )$，欠阻尼振荡充放电
• 由初始条件$\{\begin{array}{l}{u}_C(0_{+})\\ \frac{d{u}_C}{dt}(0_{+})\end{array}$确定常数
  • 当$u_C(0_{+})$和$i_L(0_{+})$均为0时，为零状态响应
  • 当$u_C(0_{+})$和$i_L(0_{+})$不全为0时，为全状态响应

6 相量法

6-1 为什么引入相量法

相量法利用正弦量和复数的关系，将微分方程变为代数方程，从而将求微分方程的特解转变为求代数方程的解，使正弦稳态电路的求解也像直流电路的求解一样。

6-2 复数

$F=a+jb$

$F=|F|e^{j\theta }=|F|(cos\theta +jsin\theta )=|F|\angle \theta$

1. 加减法：常用图解法
2. 乘除法：常用极坐标式，模相乘/除，辐角相加/减
3. 旋转因子：模为1，辐角为θ的复数；一个复数与之相乘将会逆时针旋转θ

6-3 正弦量

瞬时值表达式：$i(t)=I_{m}cos(\omega t+\psi )$

三要素：

1. 幅值$I_m$
2. 角频率ω
3. 初相位Ф（-180°~180°）

同频率正弦量相位差：等于初相位之差（-180°~180°）

正弦电流、电压有效值：将正弦电流、电压在一个周期内产生的平均效应换算为等效的直流量，称为正弦量的有效值。

$i(t)=I_{m}cos(\omega t+\psi )=\sqrt{2}Icos(\omega t+\psi )$

$U=\frac{1}{\sqrt{2}}{U}_m$

$U_m=\sqrt{2}U$

测量中交流测量仪表指示的一般为有效值

瞬时值：小写；最大值：下标m；有效值：大写

6-4 相量法的引入

对任意一个正弦量$\sqrt{2}Acos(\omega t+\psi )$，都可以转化为复数的实部$Re[\sqrt{2}A{e}^{j(\omega t+\psi )}]$

将${\dot{I}}_L=I_L{e}^{j{\psi }_i}$称为电感电流的相量形式，$I_L$为电感电流的有效值，${\psi }_i$为初相角。

将${\dot{U}}_S=U_S{e}^{j{\psi }_u}$称为电压源电压的相量形式。

只要求出相量，即可获得正弦量三要素中的两个要素。ω与正弦激励角频率相同，不需要求解。（可能会故意设定ω与激励角频率不同）

每求导一次就增加一个jω

j即逆时针转90°

将分母上复数的幅角取相反数即可

答案须化为标准形式

一般是已知各支路电流间夹角，画图求出有效值

6-5 电路定律的相量形式

电流、电压的相量形式都满足KCL、KVL方程，可以直接列写。

在相量域中受控域支路（包括电阻）的控制关系不变

电感：相量域中，${\dot{U}}_L=j\omega L{\dot{I}}_L$，类似于欧姆定律，只不过系数为纯虚数，故将jωL称为感抗。

相量域实质是将时域的微分关系转变为比例关系

电容：相量域中，${\dot{I}}_C=j\omega C{\dot{U}}_C$，类似于欧姆定律，只不过系数为纯虚数，故将$\frac{1}{j\omega C}$称为容抗。

6-6 阻抗和导纳

阻抗：包含电阻、感抗和阻抗，记为Z

$Z=R+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}$

Z的通用表达式为Z=R+jX，R为电阻，X为电抗

X>0时，阻抗Z呈感性 X<0时，阻抗Z呈容性

导纳：阻抗的倒数，记为Y

阻抗于导纳的串并联：分别等效于电阻和电导

7 正弦稳态电路的分析

相量一般表示为复数的极坐标形式

复数运算经常需要在代数形式和极坐标形式间转换

7-1 相量图

相量图：用几何方法表示相量

绘制依据：KCL和KVL中，电流或电压符号相同，则首尾相连；若符号相反，则碰头或碰脚

绘制步骤：模值无需精确，仅需定性，角度必须定量绘制

1. 确定参考相量，即角度为零的相量。一般串联电路以电流为参考相量，并联电路以电压为参考相量；
2. 根据支路的VCR确定支路电压或电流相量的角度；
3. 根据KCL、KVL构成封闭图形。

多j就超前90°，故电感电压超前电流90°，电容电压滞后电流90°（超前即逆时针转）

电压源相量使电压相量图封闭，或作为电流相量图的参考相量

7-2 正弦稳态电路的瞬时功率

p(t)=u(t)i(t)

周期为电压电流的一半，频率为两倍

电阻总是吸收功率，电容、电感一周期内发出功率等于吸收功率

7-3 有功功率和无功功率

P=UIcosφ为有功功率（W）

Q=UIsinφ为无功功率（var，乏）

有功功率表征了电阻、电源等平均吸收或发出功率的能力。有功功率又称平均功率。

无功功率表征了电容、电感等中转（吞吐）功率的能力。认为电容发出无功功率，电感吸收无功功率。

7-4 视在功率和功率因数

视在功率：S=UI

功率因数：$\lambda =\frac{P}{S}=\frac{UIcos\psi }{UI}=cos\psi$，即有功功率占视在功率的比例

7-5 复功率

复功率：$\bar{S}=\dot{U}{\dot{I}}^{\ast }$（相量），单位V·A

$\bar{S}=UI\angle ({\psi }_u-{\psi }_i)=UI\angle \psi =S\angle \psi =UIcos\psi +jUIsin\psi =P+jQ$

当负载表示为阻抗Z=R+jX或导纳Y=G+jB时，$\bar{S}$也可表示为$\bar{S}=\dot{U}{\dot{I}}^{\ast }=Z\dot{I}\cdot {\dot{I}}^{\ast }=R{I}^2+jX{I}^2$或 $\bar{S}=\dot{U}{\dot{I}}^{\ast }=U\cdot (UY{)}^{\ast }=U^2{Y}^{\ast }=G{U}^2-jB{U}^2$

1. $\bar{S}$是复数而非相量，没有对应的正弦量；
2. $\bar{S}$把P、Q、S联系在一起，其实部为平均功率，虚部为无功功率，模为视在功率；
3. 复功率满足守恒定理：${\sum }_{k=1}^b{\bar{S}}_k={\sum }_{k=1}^b(P_k+j{Q}_k)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\sum }_{k=1}^b{P}_k=0\\ {\sum }_{k=1}^b{Q}_k=0\end{array}$

复功率守恒，视在功率不守恒

串联电路：$U\ne U_1+U_2\Rightarrow S\ne S_1+S_2$

7-6 正弦稳态电路的最大功率传输

有功功率：$P=R_L{I}^2=\frac{R_L{U}_S^2}{(R_i+R_L{)}^2+(X_i+X_L{)}^2}$

1. 若$Z_L=R_L+j{X}_L$可取任意值，则P取得最大值时，$R_L=R_i,X_L=-X_i$，即最佳匹配条件：$Z_L=Z_i^{\ast }$，此时$P_{max}=\frac{U_S^2}{4R_i}$
2. 若$Z_L=R_L$，为纯电阻，则P取得最大值时，$R_L=\sqrt{R_i^2+X_i^2}=|Z_i|$，即模匹配，

8 含有耦合电感的电路

8-1 互感的定义

${\Psi }_{11}=L_1{i}_1,{\Psi }_{12}=M_{12}{i}_2$

${\Psi }_{22}=L_2{i}_2,{\Psi }_{21}=M_{21}{i}_1$

$M_{12}=M_{21}=M$，M称为互感

耦合系数$k=\frac{M}{\sqrt{L_1{L}_2}}\le 1$，k=1为全耦合

互感最典型的应用是变压器，通过互感实现变压。互感还有电隔离和阻抗变换器的作用

电感电压=自感电压+互感电压，互感电压=相邻电路电流*互感

有互感的电路只能用回路电流进行分析，无法使用结点电压。

8-2 同名端和互感电压方向

磁场增强还是消弱取决于线圈的绕制方向和电流方向

同名端：一组端子同时流入电流时会使得产生的磁场相互增强，则称为同名端

互感电压的方向：磁场相互增强时，互感电压项前取正号，反之取负号

互感电压方向的判断：若两端子为同名端，且都流入电流，则产生的磁场相互增强，此时互感电压在同名端上取正号

8-3 互感的去耦等效

电感同名端相接的连接方式称为反接，非同名端相接的连接方式称为顺接

互感同向串联(顺接）可去耦等效为一个等效电感，其自感系数为$L_1+L_2+2M$

互感反向串联（反接）可去耦等效为一个等效电感，其自感系数为$L_1+L_2-2M$

T型接法：在串联电感之间引出一个接线端，有两种情况：同名端位于新接线端同侧（即都靠近或远离新接线端），或位于新接线端异侧

T型异侧可等效为$L_1+M,L_2+M$串联，新接线端处替换为-M的电感

T型同侧可等效为$L_1-M,L_2-M$串联，新接线端处替换为M的电感

类似变压器的对置电感，可将两电感的一侧相连，则形成T型接法，但不如置源后使用网孔电流法。等效电感即电压除以电流的微分。等效电感为0时，置电流源为妥。

互感并联只是T型接法的特殊情况

8-4 含有耦合电感电路的计算

1. 在正弦稳态情况下，含有耦合电感电路的计算仍应用相量分析法
2. 互感线圈上的电压除自感电压外，还包含互感电压
3. 一般采用支路法和回路法计算
4. 若已使用去耦等效获得无耦合电感的电路，则直接使用相量法的任何方法

8-5 变压器

空气变压器：两个线圈在空气中绕制且互相耦合

铁芯变压器：两个线圈在铁芯上绕制且互相耦合

理想变压器：

1. 全耦合：$k=\frac{M}{\sqrt{L_1{L}_2}}=1$
2. $L_1,l_2,M$无穷大，$\frac{\sqrt{L_1}}{\sqrt{L_2}}=\frac{N_1}{N_2}$
3. 无损耗

铁芯变压器磁导率μ很大，可近似为理想变压器

1代表原边，2代表副边

$\frac{u_1}{u_2}=\frac{N_1}{N_2}=\frac{i_2}{i_1}$

理想变压器与阻抗变换：$\frac{\dot{U_1}}{\dot{I_1}}=(\frac{N_1}{N_2}{)}^2\frac{\dot{U_2}}{\dot{I_2}}=(\frac{N_1}{N_2}{)}^2{Z}_2$，阻抗变换后两边复功率相同

9 电路的频率响应

9-1 网络函数

网络函数：$H(j\omega )=\frac{B(j\omega )}{A(j\omega )}$，A(jω)称为激励，B(jω)称为响应，两者既可以是电压相量，也可以是电流相量

此处响应和激励只是一种称呼

• 幅频特性——幅值随角频率变化的规律
• 相频特性——相位随角频率变化的规律

9-2 谐振定义和谐振条件

谐振：电路相量在特定频率（固有频率）激励下，比其他频率激励时振幅（幅值）更大的情形

串联谐振的条件：阻抗虚部为0，电压电流同相位，z最小，串联LC可用于短路（选频）

并联谐振的条件：导纳虚部为0，电压电流同相位，y最小，并联LC可用于隔断（选频）

谐振须用傅里叶计算

9-3 RLC串联谐振的特点

1. RLC串联等效阻抗为纯电阻
2. $|Z|=\sqrt{R^2+({\omega }_{0}L-{\frac{1}{{\omega }_{0}C}}^2)}=R$最小，因此$I=\frac{U}{|Z|}$最大
3. 若仅为纯电抗，即R=0，则Z=0，相当于短路
4. $U_L={\omega }_{0}LI={\omega }_{0}L\frac{U}{R}=\frac{{\omega }_{0}L}{R}U$可能过电压，这一风暴是外部激发，内部配合

品质因数Q：$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}$则$U_L=QU$，同理$Q=\frac{1}{R{\omega }_{0}C}$，$U_C=QU$

9-4 RLC串联谐振的频率响应

频率响应写出相频特性$\varphi (j\eta )$和$|H_R(j\eta )|$即可

在谐振角频率${\omega }_0$时$I=\frac{U}{R}$最大，$P_R=\frac{U^2}{R}$最大

半功率点：$P_R=\frac{1}{2}\frac{U^2}{R}$处

带宽：两个半功率点的角频率差${\omega }_2-{\omega }_1=\frac{{\omega }_0}{Q}$，又称通频带。品质因数越高，带宽越窄。条件是$|H_R(j\eta )|\ge \frac{1}{\sqrt{2}}=0.707$

9-5 RLC并联谐振的特点

1. RLC并联等效导纳为纯电导
2. $|Y|=\sqrt{(\frac{1}{R}{)}^2+({\omega }_{0}C-{\frac{1}{{\omega }_{0}L}}^2)}=\frac{1}{R}$最小，因此$U=\frac{1}{|Y|}$最大
3. 若仅为纯电抗，即$\frac{1}{R}=0$，则Y=0，相当于开路
4. $I_L={\omega }_{0}CU={\omega }_{0}CRI=R{\omega }_{0}CI$可能过电流

品质因数Q：$Q=R{\omega }_{0}C$则$I_C=QI$，同理$Q=\frac{R}{{\omega }_{0}L}$，$I_L=QI$

Q无单位

RLC并联谐振和串联谐振的特点是一一对偶的关系

10 三相电路

10-1 三相电路

三相电路由三相电源、三相负载、三相输电线组成，可以产生、传输、利用更多功率

$\{\begin{array}{l}{u}_A=\sqrt{2}Ucos\omega t\\ u_B=\sqrt{2}Ucos(\omega t-120^{\circ })\\ u_C=\sqrt{2}Ucos(\omega t+120^{\circ })\end{array}$

三相电路的连接方式：Y型接法和Δ型接法，而电源和负载的组合便形成了更多接法，如YY接法，ΔΔ接法，三相四线制接法等

10-2 线电压/电流与相电压/流关系

相电压：三相电源或三相负载每一相的电压

线电压：输电线之间的电压

三角形接法中线电压=相电压

相电流：三相电源或三相负载每一相的电流

线电流：输电线上的电流

星型接法中线电流=相电流

10-3 对称三相电路的计算

对称三相电路：三相电源对称且三相负载对称的电路

对于对称三相电路，可将其化为单相电路：

1. 分别取星型电路的电源和负载的中心结点N、N'，称为中性点
2. 以N为参考结点，列写N'的结点电压方程
3. 知N与N'等电位，可用一条虚拟导线连接

对称三相电路拆为单相电路的方法：

1. 顺藤摸瓜：从A相电源出发，顺着支路到达$Z_1$
2. 花开两朵，各表一枝：继续抵达各阻抗
3. 水到渠成：将等电位的中性点相连，获得单相电路

电压须除以$\sqrt{3}$以等效为单相电压

求单相电路时与中性线无关

算出某相后用α（120°旋转向量）乘之得其余两相

遇到三角形接法，则等效为星形接法（将三个三角形相接的3Z阻抗等效为三个星型相接的Z阻抗）

10-4 不对称三相电路的概念

主要讨论电源对称，负载不对称的三相电路，采用相量法

中性点位移：负载中性点与电源中性点在相量图上不重合

当中性点位移较大时，负载相电压严重不对称，使负载的工作状态不正常

1. 负载不对称，电源中性点和负载中性点不等位，中性线中有电流，各相电压、电流不对称
2. 中性线不装保险，且较粗，保证负载的各相电压接近对称
3. 减少中性点位移，减少中性线阻抗

10-5 对称三相电路功率的计算

平均功率：$P=\sqrt{3}{U}_L{I}_{L}cos\varphi$

无功功率：$Q=\sqrt{3}{U}_L{I}_{L}sin\varphi$

视在功率：$S=\sqrt{3}{U}_L{I}_L$

瞬时功率：$p=3UIcos\varphi$

注意：

1. φ为各相电压与相电流的相位差（阻抗角），不对称时无意义
2. cosφ为各相的功率因数，也可定义为$\frac{P}{S}$
3. 公式计算的使负载吸收的功率，即电源发出的功率
4. P、Q、S都是指三相总和

10-6 三相功率的测量

1. 三表法：AN、BN、CN各用一功率表，仅适用于三相四线制
2. 二表法：AC、BC各用一功率表，仅适用于三相三线制，两表代数和为三相总功率

11 非正弦周期电流电路

11-1 非正弦周期信号

将非正弦周期信号进行傅里叶级数展开：$f(t)=A_0+A_{1m}cos({\omega }_{1}t+{\varphi }_1)+A_{2m}cos(2{\omega }_{1}t+{\varphi }_2)+...$，其中的第二项称为基波分量，第三项称为二次谐波分量

阻抗写成：$Z(k\omega )$，其中$\omega$均由$k\omega$替代

要使输出中不含某频率的分量，一般用并联谐振（阻抗为$\infty$）阻断或用串联谐振（阻抗为0）短路。

11-2 非正弦周期电流电路的有效值和平均功率

电流的有效值：$I=\sqrt{I_0^2+I_1^2+I_2^2+...}$

电压的有效值：$U=\sqrt{U_0^2+U_1^2+U_2^2+...}$

平均功率：$P=U_0{I}_0+U_1{I}_{1}cos({\varphi }_{u_1}-{\varphi }_{i_1})+U_2{I}_{2}cos({\varphi }_{u_2}-{\varphi }_{i_2})+...$

纯电阻电路平均功率：$P_E=I^{2}R$

11-3 非正弦周期电流的计算

1. 对非正弦周期信号进行傅里叶级数分解
2. 将各分量分别单独作用
3. 将各时域求得的分量叠加

12 二端口网络

二端口网络：有两个端口，且仅含线性阻抗和线性受控源，并满足$i_1=i_1^{\prime }$，$i_2=i_2^{\prime }$

12-2 二端口的方程和参数

二端口网络有两个电压和两个电流

Z参数：用二端口电流表示二端口电压，又称开路阻抗参数

$\{\begin{array}{l}{\dot{U}}_1=Z_{11}{\dot{I}}_1+Z_{12}{\dot{I}}_2\\ {\dot{U}}_2=Z_{21}{\dot{I}}_1+Z_{22}{\dot{I}}_2\end{array}$

Y参数：用二端口电压表示二端口电流，又称短路路导纳参数

$\{\begin{array}{l}{\dot{I}}_1=Y_{11}{\dot{U}}_1+Y_{12}{\dot{U}}_2\\ {\dot{I}}_2=Y_{21}{\dot{U}}_1+Y_{22}{\dot{U}}_2\end{array}$

H参数：用${\dot{I}}_1,{\dot{U}}_2$表示${\dot{U}}_1,{\dot{I}}_2$，又称混合参数

$\{\begin{array}{l}{\dot{U}}_1=H_{11}{\dot{I}}_1+H_{12}{\dot{U}}_2\\ {\dot{I}}_2=H_{21}{\dot{I}}_1+H_{22}{\dot{U}}_2\end{array}$

T参数：用端口2的电压电流表示端口1的电源电流，又称传输参数

$\{\begin{array}{l}{\dot{U}}_1=A{\dot{U}}_2-B{\dot{I}}_2\\ {\dot{I}}_2=C{\dot{U}}_2-D{\dot{I}}_2\end{array}$

二端口网络参数的求解方法：先列写电压电流方程，再整理方程为所求参数对应的方程

13 运算放大器

理想运算放大器：倒向输入端与非倒向输入端等电位，输入电流均为0

特性：

1. 虚短：等电位
2. 虚断：输入电流为0

多半使用结点电压法或回路电流法

14 线性动态电路的复频域分析

F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数

电感的运算电路：电感sL和电压源$Li(0_{-})$串联 或 电感$\frac{1}{sL}$和电流源$\frac{i(0_{-})}{s}$并联

电容的运算电路：电容$\frac{1}{sC}$和电压源$\frac{u(0_{-})}{s}$串联 或 电容sC和电流源$Cu(0_{-})$并联