对应课程：东南大学工程矩阵理论-周建华

• 第〇章
• 第一章
• 第二章
• 第三章
• 第四章
• 第五章
• 第六章

要会证明的定理：绝对不会考察（笑），定理只要看得懂就行

1. 子空间、交空间、和空间的维数定理
2. 判断两个空间的和是否为直和 的等价条件
3. 线性空间里的线性变换的维数定理
4. 等距变换的充要条件
5. 一个 Hermite 矩阵的最大特征值是 Rayleigh 商的最大值
6. 矩阵的谱半径不会超过相容范数的范数值

要记的定义：

1. 验证子空间：（第一章）
   1. 非空
   2. 加法、乘法封闭
2. 线性映射、线性变换：保持加法、数乘
3. 内积：酉空间，欧式空间（第二章）
4. 等距变换：酉变换，正交变换
   1. 四个条件
5. 特征值，特征向量（第三章）
6. 若当形矩阵
7. Hermite 矩阵，正规阵，酉矩阵（第四章）
8. 正定：半正定，负定，半负定
9. 向量范数：$\Vert \bullet {\Vert }_1,\Vert \bullet {\Vert }_2,\Vert \bullet {\Vert }_{\infty }$（第五章）
10. 矩阵范数：$\Vert \bullet {\Vert }_{m_1},\Vert \bullet {\Vert }_{m_2},\Vert \bullet {\Vert }_{m_{\infty }}$
11. 矩阵函数
12. M-P 方程，计算满秩分解，性质（第六章）

先从题目形式分析，再考虑重新表示

n 个矩阵相加得到 1 个矩阵的，可以考虑分块 / 分列

行列式： 取矩阵某一行/列，对该列的每个元素求其代数余子式，并与该元素相乘，最后将所有乘积相加

代数余子式： 把元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去，求得到的行列式的值，得到余子式 $M_{ij}$，$M_{ij}\times (-1{)}^{i+j}=A_{ij}$，$A_{ij}$ 即为代数余子式

求逆矩阵： 先求出各元素对应的代数余子式

1. 代数余子式转置得到伴随矩阵
2. 求出矩阵的行列式的值（即第一行各元素与其对应的代数余子式相乘 的和）
3. 伴随矩阵除以行列式得到逆矩阵

逆矩阵的行列式 为 原矩阵行列式的倒数

上、下三角矩阵的行列式为其主对角线元素的积

$AX=0\Rightarrow K(A)=X$

$AX=Y\Rightarrow R(A)=Y$

$(A^H{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^H$

Hermite 矩阵：$A^H=A$

酉矩阵：$A^{H}A=I$

正规阵：$A^{H}A=A{A}^H$

正定阵：$A=P^{H}P$

迹（trace）：主对角线元素之和，也是特征值之和

0 第零章

0-1 行列式

行列式在初等变换后值不变，且可以混合行/列变换

$det(A^T)=det(A),det(AB)=det(A)det(B)$

注意乘法中可能存在的数字，往往能简化计算（可交换），例如 $v^{T}Bu$

$det(A)=0$ 可知 $Ax=0$ 有非零解

0-2 秩

矩阵的秩 等于：

• 其非零子式的最高阶数
• 或等于其行/列向量的的秩
• 或以 $A$ 为基础解系的齐次线性方程组的解的秩

可逆矩阵满秩

可逆矩阵的特征值非零，行列式非零（这个是等价条件）

• 对于方阵 $A=P\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)Q$，$P,Q$ 可逆
• 对于行满秩的非方阵 $B=P\left(\begin{array}{cc}{I}_r& C\end{array}\right)$

$Q^{-1}\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)Q$ 为幂等阵

$AX=B$ 有解等价于 $r(A)=r(A,B)$

$K(A)=\{X|AX=\theta \}$

第一章

维数定理： 假设$V_1,V_2\le V$，有$dim(V_1+V_2)=dim{V}_1+dim{V}_2-dim(V_1\cap V_2)$

维数定理： 假设 $dimV<\infty ,f\in Hom(V,U)$，则 $$dimR(f)+dimK(f)=dimV$$

极大无关组就是满秩分解里 $B$ 的各列，而各列又代表对应线性映射的值域的一组基（习题1.16）

同一线性变换在不同的基偶下的矩阵是相似的 线性变换要满足 齐性，可加性

零矩阵有可能是核空间带来的，分块矩阵里的零矩阵可以考虑值域和核的直和

线性变换的值域的基下对应的矩阵为单位阵，核的基下对应的矩阵为零矩阵

$f,g$ 的值域相同，则 $\forall \alpha ,\exists \beta ,s.t.f(\alpha )=g(\beta )$

子空间：

1. $W\subseteq V$
2. $W\ne \varnothing$
3. $W$ 加法和数乘封闭

基：把一种矩阵用多个矩阵表示，每个矩阵仅含一个变量

$K(A)$ 的基，或 $f(X)$ 的基，$A$ 为 $f$ 的某个矩阵：（见试卷2010b.2）

• 对 A 做行变换得到简化阶梯形矩阵
• 第 $i$ 列乘以 $x_i$，每行得到一个等式
• 利用所有等式，列出一个列向量，即所有 $x$ 都用其中一个 $x_i$ 表示
• 若有自由的 $x$，则补一个单位列向量

直和：两个子空间交集为零向量

基下的矩阵：（见习题1.13）

• 若基为 $n\times n$ 方阵而非向量，则基下的矩阵为 $n^2\times n^2$

不变子空间：设 $f\in Hom(V,V),W\le V$，若 $\forall \eta \in W$，有 $f(\eta )\in W$，则称 W 是 $f$ 的不变子空间

定理： $R(A{)}^{\perp }=K(A{)}^H,K(A{)}^{\perp }=R(A{)}^H=R(A^H)$

第二章

最小值常常考虑正交补空间

等距变换：

• $f\in Hom(V,V)$，$⟨f(\alpha ),f(\beta )⟩=⟨\alpha ,\beta ⟩,\forall \alpha ,\beta \in V$
• 实数时称作正交变换，虚数时称作酉变换

正定阵相似于对角阵

求 $\eta$ 对 $W$ 的正投影 $\alpha$：$\eta -\alpha$ 垂直于 $W$ 的基，且 $\alpha$ 能被这些基表示

第三章

最小多项式：把 J 代入到化零多项式观察得到，或者 J 中 Jordan 块对角线为 ${\lambda }_i$ 的最大阶数为最小多项式中 $\lambda -{\lambda }_i$ 的最大次数

一般对于重数不超过3的特征值$\lambda$，$n-r(A-\lambda I)$ 为以 $\lambda$ 为对角线元素的 Jordan 块的数量

用最小多项式求矩阵多项式：

1. 用 $\lambda$ 替换矩阵多项式中的 $A$
2. 将多项式表示为最小多项式的积+商，其中商的最高次为最小多项式最高次-1
3. 将特征值代入其中，二重特征值则可再代入多项式的一阶导数中，以此类推

用最小多项式求 $e^{At}$：

1. 高于最小多项式最高次-1 的 $A$ 的次方均可化为更低的次方项，故 $e^{At}$ 的最高次项为最小多项式最高次-1
2. 接下来做法同矩阵多项式

第四章

共轭合同可以理解为 H 阵的相似

特征值均为正实数：相似于正定阵

证明一个矩阵为正定阵，通常可以证明其共轭合同于一个显然的正定阵

第五章

范数非零时恒正，齐次，三角不等式

• $\Vert A{\Vert }_{m_2}=\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{{\sum }_{i,j}|a_{ij}{|}^2}=\sqrt{\mathrm{tr}{A}^{H}A}=\sqrt{\mathrm{tr}A{A}^H}$
• $\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{\rho (A^{H}A)}$，谱范数，$\rho$ 代表取最大特征值

范数相容：$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$

$det(e^{At})=e^{tr(A)t}$