第十章 信号检测

信号的统计推断又称为统计信号处理，是指根据观察数据与待推断数据之间的先验统计关联信息 （如联合概率密度函数、条件概率密度函数等），由观察数据的情况来推断另一个阈值关联的数据情况。

所谓假设检验，就是在已知 不可直接观察的随机现象的样本空间 $\mathcal{H}$ 和 可直接观察的随机现象的样本空间 $\mathcal{O}$ 的联合概率函数的条件下，根据当前观察到的 $\mathcal{O}$ 的取值，来推断到底是 $\mathcal{H}$ 中哪一个假设导致了目前的观察值。

信号检测是假设检验的一种，当观察空间和待检验空间都是信号时，这种假设检验就是信号检测。

$$f_{y|b}(y|b)=f_z(y-RAb)=\frac{1}{(2\pi {)}^{K/2}det(R{)}^{-1/2}}exp\left\{-\frac{(y-RAb{)}^T{R}^{-1}(y-RAb)}{2}\right\}$$

10-2 常见判决准则

Bayes 判决准则

如果输入 “假设” 为 $H_0,H_1,\cdots ,H_{N-1}$, 设 $c_{ji}$ 为将 $H_i$ 判定为 $H_j$ 的代价, 所谓 Bayes 䖺堆则就是观测空间的一个判决分割 ${\pi }_{\mathcal{O}}:{\mathcal{O}}_0,{\mathcal{O}}_1,\cdots ,{\mathcal{O}}_{N-1}$, 这种判决分割使下列风险收敛达到最小, 即 $$R\left({\pi }_{\mathcal{O}}\right)=\sum _{i,j=0}^{N-1}{c}_{ji}P\left(H_j\mid H_i\right)P\left(H_i\right)$$

$P\left(H_i\right)$ 为在判决分割 ${\pi }_{\mathcal{O}}$ 下将 $H_i$ 判决为 $H_j$ 的概率

定理 (二择一 Bayes 检测) 只有两个 “假设” 的 Bayes 检测, 代价满足 $c_{10}>c_{00},c_{01}>c_{11}$ 。设两个 “假设” 分别为 $H_0、H_1$, 观测空间 $\mathcal{O}\subset {\mathbb{R}}^n$, 设观察向量为 $x$, 记 $$\lambda (\mathbf{x})=\frac{P\left(\mathbf{x}\mid H_1\right)}{P\left(\mathbf{x}\mid H_0\right)},{\lambda }_{\mathrm{B}}=\frac{P\left(H_0\right)\left(c_{10}-c_{00}\right)}{P\left(H_1\right)\left(c_{01}-c_{11}\right)}$$ 则 $H_1$ 的 Bayes 判决区域为 ${\mathcal{O}}_1=\left\{x\in \mathcal{O}\mid \lambda (x)⩾{\lambda }_B\right\},H_0$ 的判决区域为 ${\mathcal{O}}_0=\{x\in \mathcal{O}|\lambda (x)<{\lambda }_B\}$ 。这里 $\lambda (x)$ 被称为似然比, ${\lambda }_B$ 被称为门限似然比。

第十一章 信号参数估计

估(ū)计：连续(ù)；假设检验(àn)：离散(àn)

信号估计按照其待估计的对象可以分为“信号参数估计”与“信号波形估计”这两类。

参数估计：有限维；波形估计：无限维

11-2 常见估计准则

11-2-2 最大后验概率估计

最大后验概率估计就是用 使后验概率质量函数 $P(\theta |x)$ 或后验概率密度函数 $f(\theta |x)$ 达到最大值的 ${\hat{\theta }}_{MAP}$ 作为 $\theta$ 的估计值，写成数学表达式就是 $${\hat{\theta }}_{MAP}=arg[\underset{\theta }{\max }f(\theta |x)]$$

一般来说，假设后验概率函数的所有一阶偏导数存在，则最大后验概率估计 ${\hat{\theta }}_{MAP}$ 是下列线性方程组的解： $$\frac{\partial }{\partial \theta }f(\theta |x)=0$$

11-2-3 最大似然估计

设观测值为 $x$，待估参数为 $\theta$，最大似然估计就是用使条件概率密度函数 $f(x|\theta )$（即 $f_{X|\Theta }(x|\theta )$）达到最大值的 ${\hat{\theta }}_{ML}$ 作为 $\theta$ 的估计值，写成数学表达式就是 $${\hat{\theta }}_{ML}=arg[\underset{\theta }{\max }f(x|\theta )]$$

该条件概率密度 $f(x|\theta )$ 又称为似然函数。假设似然函数的所有一阶偏导数存在，则最大似然估计 ${\hat{\theta }}_{ML}$是下列线性方程组的解： $$\frac{\partial }{\partial \theta }f(x|\theta )=0$$

似然函数可以写为 $$f(x(t)|A)=F\exp \{-\frac{1}{N_0}{\int }_0^t[x(t)-s(t,A){]}^{2}dt\}$$

11-2-3 最大均方误差估计

定理：使均方误差达到最小的估计字具有如下表达式： $${\hat{\theta }}_{MMSE}=\varphi (x)={\int }_{\Theta }\theta f_{\Theta |X}(\theta |x)d\theta$$ 且最小均方误差估计是无偏估计，即 $$E\{{\hat{\theta }}_{MMSE}\}=E\{\theta \}$$

11-3-3 参数估计举例

信号的频率估计

若传输信号具有形式： $$s(t,\omega )=A\sin (\omega t+\theta )$$ 式中，幅度 A 和相位 $\theta$ 为常数；$\omega$ 是待估参量。假设 $\theta$ 是 $[0,2\pi )$ 上的均匀分布，此问题的似然函数为

$$f(x(t)\mid \omega )={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2\pi }F\exp \left\{-\frac{1}{N_0}{\int }_0^t[x(t)-A\sin (\omega t+\theta ){]}^2\mathrm{d}t\right\}\mathrm{d}\theta =K{I}_0\left(\frac{2A}{N_0}v\right)$$ 若 $x(t)=A\cos \left({\omega }_{1}t+\theta \right)+B\cos \left({\omega }_{2}t+\varphi \right)+N(t)$， 则 $K=F\exp \left\{-\frac{1}{N_0}{\int }_0^T\left[x^2(t)+\frac{A^2}{2}+\frac{B^2}{2}\right]dt\right\}$

第十二章 信号波形估计

12-2-2 离散时间信号的 Wiener 滤波

最佳滤波器的系统函数为 $H(z)=\frac{S_{WX}(z)}{S_X(z)}$

这样决定的 $h[m]$，使最小误差为

$$\min (E\{(W[n]-Y[n]{)}^2\})=R_W[0]-\sum _{k=-\infty }^{\infty }{R}_{WX}[k]h[k]$$

因果问题的求解

例：设 $X[n]=S[n]+N[n]$，其中 $S[n]$ 是自相关函数为 $R_S[m]=a^{|m|},0<a<1$ 的一阶过程； $N[n]$ 是均值为零、自相关函数为 $R_N[m]=N_0\delta [m]$ 的白噪声，且 $S[n],N[n]$ 相互独立。 下面确定非因果和因果离散线性滤波器，使输入 $X[n]$ 的输出 $Y[n],S[n]$ 的均方误差达到最小， 即 $E\{(S[n]-Y[n]{)}^2\}$ 达到最小。

解：显然白噪声 $N[n]$ 的自相关函数的 $z$ 变换为 $S_N(z)=N_0$，而 $R_s[m]$ 的 $z$ 变换为 $$\begin{array}{rl}{S}_S(z)& =\sum _{m=-\infty }^{\infty }{a}^{|m|}{z}^{-m}=\sum _{m=-\infty }^0{a}^{-m}{z}^{-m}+\sum _{m=1}^{\infty }{a}^m{z}^{-m}\\ & =\frac{1}{1-az}+\frac{a{z}^{-1}}{1-a{z}^{-1}}=\frac{a-a^{-1}}{\left(z+z^{-1}\right)-\left(a+a^{-1}\right)}\end{array}$$ 另外，此时 $W[n]=S[n],S_{WX}(z)=S_S(z),S_X(z)=S_S(z)+S_N(z)$。因此可知非因果滤波器的系统函数为 $$\begin{array}{rl}H(z)& =\frac{a-a^{-1}}{\left(a-a^{-1}\right)+N_0\left(z+z^{-1}\right)-N_0\left(a+a^{-1}\right)}\\ & =\frac{\left(a-a^{-1}\right)/N_0}{\left(z+z^{-1}\right)-\left(b+b^{-1}\right)}\end{array}$$ 式中 $$b+b^{-1}=a+a^{-1}+\frac{1}{N_0}\left(a^{-1}-a\right),0<b<1$$ 因此，冲激响应为 $$h[n]=\frac{a^{-1}-a}{N_0\left(b^{-1}-b\right)}{b}^{|n|}$$ 下面来求因果解。第一步，有 $$\begin{array}{rl}{S}_X(z)& =\frac{a^{-1}-a}{\left(a+a^{-1}\right)-\left(z+z^{-1}\right)}+N_0\\ & =N_0\frac{\left(b+b^{-1}\right)-\left(z+z^{-1}\right)}{\left(a+a^{-1}\right)-\left(z+z^{-1}\right)}\\ & =N_0\frac{(b-z)\left(1-b^{-1}{z}^{-1}\right)}{(a-z)\left(1-a^{-1}{z}^{-1}\right)}\end{array}$$ 因此 $$M^{+}(z)=\frac{z-b}{z-a},M^{-}(z)=N_0\frac{z-b^{-1}}{z-a^{-1}}$$ 第二步，有 $$\frac{S_{WX}(z)}{M^{-}(z)}=\frac{\left(a^{-1}-a\right)z}{N_0(a-z)\left(z-b^{-1}\right)}=\frac{cz}{z-a}-\frac{cz}{z-b^{-1}},c=\frac{1}{N_0}\frac{a^{-1}-1}{b^{-1}-a}$$ 因此 $$N^{+}(z)=\frac{cz}{z-a},N^{-}(z)=\frac{-cz}{z-b^{-1}}$$ 第三步，有 $$H(z)=\frac{N^{+}(z)}{M^{+}(z)}=\frac{cz}{z-b},h[n]=c{b}^{n}U[n]$$