第十章 信号检测
信号的统计推断又称为统计信号处理,是指根据观察数据与待推断数据之间的先验统计关联信息 (如联合概率密度函数、条件概率密度函数等),由观察数据的情况来推断另一个阈值关联的数据情况。
所谓假设检验,就是在已知 不可直接观察的随机现象的样本空间 和 可直接观察的随机现象的样本空间 的联合概率函数的条件下,根据当前观察到的 的取值,来推断到底是 中哪一个假设导致了目前的观察值。
信号检测是假设检验的一种,当观察空间和待检验空间都是信号时,这种假设检验就是信号检测。
10-2 常见判决准则
Bayes 判决准则
如果输入 “假设” 为 , 设 为将 判定为 的代价, 所谓 Bayes 䖺堆则就是观测空间的一个判决分割 , 这种判决分割使下列风险收敛达到最小, 即
为在判决分割 下将 判决为 的概率
定理 (二择一 Bayes 检测) 只有两个 “假设” 的 Bayes 检测, 代价满足 。设两个 “假设” 分别为 , 观测空间 , 设观察向量为 , 记 则 的 Bayes 判决区域为 的判决区域为 。这里 被称为似然比, 被称为门限似然比。
第十一章 信号参数估计
估(ū)计:连续(ù);假设检验(àn):离散(àn)
信号估计按照其待估计的对象可以分为“信号参数估计”与“信号波形估计”这两类。
参数估计:有限维;波形估计:无限维
11-2 常见估计准则
11-2-2 最大后验概率估计
最大后验概率估计就是用 使后验概率质量函数 或后验概率密度函数 达到最大值的 作为 的估计值,写成数学表达式就是
一般来说,假设后验概率函数的所有一阶偏导数存在,则最大后验概率估计 是下列线性方程组的解:
11-2-3 最大似然估计
设观测值为 ,待估参数为 ,最大似然估计就是用使条件概率密度函数 (即 )达到最大值的 作为 的估计值,写成数学表达式就是
该条件概率密度 又称为似然函数。假设似然函数的所有一阶偏导数存在,则最大似然估计 是下列线性方程组的解:
似然函数可以写为
11-2-3 最大均方误差估计
定理:使均方误差达到最小的估计字具有如下表达式: 且最小均方误差估计是无偏估计,即
11-3-3 参数估计举例
信号的频率估计
若传输信号具有形式: 式中,幅度 A 和相位 为常数; 是待估参量。假设 是 上的均匀分布,此问题的似然函数为
若 , 则
第十二章 信号波形估计
12-2-2 离散时间信号的 Wiener 滤波
最佳滤波器的系统函数为
这样决定的 ,使最小误差为
因果问题的求解
例:设 ,其中 是自相关函数为 的一阶过程; 是均值为零、自相关函数为 的白噪声,且 相互独立。 下面确定非因果和因果离散线性滤波器,使输入 的输出 的均方误差达到最小, 即 达到最小。
解:显然白噪声 的自相关函数的 变换为 ,而 的 变换为 另外,此时 。因此可知非因果滤波器的系统函数为 式中 因此,冲激响应为 下面来求因果解。第一步,有 因此 第二步,有 因此 第三步,有