第八章 离散时间信号分析

$R_X(t)=E\{X(t_1)X(t_2)\}$

维纳—辛钦定理：若离散时间过程 $X[n]$ 宽平稳，其自相关函数为 $R_X[m]$ 且满足 ${\sum }_{m=-\infty }^{\infty }|m{R}_X[m]|<\infty$，则 $$S_X(f)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{R}_X[m]e^{-jm2\pi f}$$ $$R_X[m]={\int }_{-1/2}^{1/2}{S}_X(f)e^{jm2\pi f}df$$

• $R_Y[m]=R_X[m]\ast h[m]\ast h^{\ast }[-m]$，$h[m]$ 为系统冲激响应

${\left(\frac{e^{j2\pi f}}{2}\right)}^{\infty }={\left(\frac{e^{-j2\pi f}}{2}\right)}^{\infty }=0$

白噪声：功率谱密度 $S_X(f)$ 为常数

• $E\{X[n+k]X^{\ast }[n-1]\}=E\{X[n+k-1]X^{\ast }[n]\}=R_X[k-1]$
• $E\{X[n+k]X^{\ast }[n]\}=E\{X[n+k-1]X^{\ast }[n-1]\}=R_X[k]$

实~~宽平稳~~过程的功率谱密度是偶函数

输入与输出的功率谱传输特性

• $S_{XY}(f)=S_X(f)H^{\ast }(f)=S_X^{\ast }(f)H(f)$
• $S_{YX}(f)=S_X(f)H(f)$
• $S_Y(f)=S_X(f)|H(f){|}^2$
• $S_{XY}(f)=S_{YX}^{\ast }(f)$
• $S_Y(f)=S_{XY}(f)H(f)$
• $S_Y(f)=S_{YX}(f)H^{\ast }(f)$
• $H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)}$

可以全程用 z 变换代替，其中 $|H(z){|}^2=H(z)H(\frac{1}{z})$

自回归（AR）模型

定义：$X[n]+{\sum }_{k=1}^p{a}_{k}X[n-k]=W[n]$，W 为白噪声序列

• 传递函数：$H(z)=\frac{\hat{X}(z)}{\hat{W}(z)}$

第九章 连续时间信号分析

维纳—辛钦定理：若连续时间过程 $X(t)$ 宽平稳，且其自相关函数 $R_X(t\tau )$ 满足 ${\int }_{-\infty }^{\infty }|\tau R_X(\tau )|d\tau <\infty$，则 $$S_X(f)={\int }_{m=-\infty }^{\infty }{R}_X(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$$ $$R_X(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_X(f)e^{j2\pi f\tau }df$$

传递函数计算举例：

• $Y(t)=X(t)-X(t-d)$
• $H(f)=1-e^{-j2\pi fd}$

卷积： $f(t)\ast g(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Poisson 随机电报过程

是宽平稳过程

设信号平均传输速率为 $\alpha$

• 自相关函数为 $R_X(\tau )=e^{-w\alpha |\tau |}$
• 功率谱密度为 $S_X(f)=\frac{\alpha }{{\alpha }^2+{\pi }^2{f}^2}$

3dB 带宽

使功率谱密度大于 $\frac{1}{2}max\{S_X(f)\}$ 的频率范围

等效带宽

$$B_{eq}=\frac{{\int }_0^{\infty }{S}_X(f)df}{max\{S_X(f)\}}$$