3-1 特征值与特征向量

3-1-1 定义和计算

矩阵的特征值与特征向量

定义： 假设 A 是 n 阶方阵，${\lambda }_0$ 是数，若存在 n 维列向量 $\eta$，使得 $\eta \ne \theta$，且 $A\eta ={\lambda }_0\eta$ 则称 ${\lambda }_0$ 是 A 的特征值，$\eta$ 是 A 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征向量。

定理： 假设 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。

线性变换的特征值与特征向量

定义： 设 $f$ 是线性空间上的线性变换，假设 ${\lambda }_0\in F$， 若存在$\eta \in V$使得 $\theta \ne \eta \in V$，且 $f(\eta )={\lambda }_0\eta$ 则称 ${\lambda }_0$ 是线性变换 $f$ 的特征值，$\eta$ 是相应于 ${\lambda }_0$ 的特征向量。

线性变换的可对角化问题： 设 V 是 n 维线性空间，$f$ 是线性空间 V 上的线性变换， 则存在 V 的基使得 $f$ 的矩阵是对角阵当且仅当 $f$有个线性无关的特征向量。

线性变换的特征值、特征向量的计算

设 $f$ 在 V 的基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 下的矩阵是 A 若 ${\lambda }_0\in F,\eta \in V$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 下的坐标是 $x_0$， 则 $f(\eta )$在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 下的坐标是 $A{x}_0$，故 $$f(\eta )={\lambda }_0\eta \iff A{x}_0={\lambda }_0{x}_0$$ 即：$\eta$ 是 $f$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征向量当且仅当 $x_0$ 是 A 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征向量。

行列式： 取行列式某一行/列，对该列的每个元素求其代数余子式，并与该元素相乘，最后将所有乘积相加

代数余子式： 把元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去，得到余子式 $M_{ij}$，$M_{ij}\times (-1{)}^{i+j}=A_{ij}$，$A_{ij}$ 即为代数余子式

$\begin{array}{cc}A& O\\ O& A\end{array}$ 的行列式 $=A$ 的行列式的平方

定理： 若 $A,B\in C^{n\times n}$ 是相似的，则 $|\lambda I-A|=|\lambda I-B|$

注意：

1. 定理的逆命题不成立
2. 可定义线性变换的特征多项式

相似矩阵特征值相同。

$|AB|=|A||B|$

$|P^{-1}||P|=1$

3-1-2 特征多项式

特征多项式的计算

定义： 假设矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，$1\le i_1<i2<\cdots <i_k\le n$，则 A 的第 $i_1,i_2,\dots ,i_k$ 行， 第 $i_1,i_2,\dots ,i_k$ 列交叉处的元素构成的 k 阶子式称为 A 的 k 阶主子式

Cauchy-Binet公式

定理： 设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，则 $$|\lambda I-A|={\lambda }^n+b_1{\lambda }^{n-1}+b_2{\lambda }^{n-2}+\cdots +(-1{)}^k{b}_k{\lambda }^{n-k}+\cdots +(-1{)}^{n-1}{b}_{n-1}\lambda +(-1{)}^n{b}_n$$ 其中，$b_j$ 为 A 的所有 j 阶主子式之和，特别地 $$b_1=-\sum _{i=1}^n{a}_{ii},b_n=(-1{)}^n|A|$$

矩阵的迹

定义： 设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，称 ${\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}$ 为 A 的迹，记为 $tr(A)$

1. 若$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，则 $$tr(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i,|A|={\Pi }_{i=1}^n{\lambda }_i$$
2. 若 $A,B$ 相似，则 $tr(A)=tr(B),|A|=|B|$

==$r(A)\le m\Rightarrow A$ 的阶数大于 m 的子行列式应全为零，主子式应全为零==

$AB$ 不一定等于 $BA$，但$tr(AB)$ 一定等于 $tr(BA)$

$\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 ${\lambda }^k$ 为 $A^k$ 的特征值

$det(A)={\lambda }_1{\lambda }_2\dots {\lambda }_n$

$tr(A^{H}A)$ 等于特征值的和

化零多项式

引理： 设 $f(x)$ 是多项式，若 $f(A)=0$，则 A 的特征值均是 $f(x)=0$ 的根，称 $f(x)$ 为 A 的化零多项式

3-1-3 Hamilton-Cayley 定理

Schur 引理： 对 $\forall A\in C^{n\times n}$，存在酉矩阵 U 使得 $U^{H}AU$ 是上三角矩阵。

定理： 设 $A\in F^{n\times n},C(\lambda )=|\lambda I-A|$，则 $C(A)=O$。

定理： 设 $f\in Hom(V,V),C(\lambda )$是 $f$ 的特征多项式，则 $C(f)=O$。

3-1-4 最小多项式

矩阵的最小多项式

根据 Hamilton-Cayley 定理，一定存在最小多项式

定义： 矩阵 A 的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式称为 A 的最小多项式

性质：

1. 若 $m(x),\varphi (x)$ 分别是矩阵 A 的最小多项式、化零多项式，则 $m(x)|\varphi (x)$
2. 任意矩阵的最小多项式是唯一的，
3. 如果矩阵 $A,B$ 相似，则 $A,B$ 有相同的最小多项式

线性变换的最小多项式

定义： 设线性变换 $f\in V$ 在 V 的一组基下的矩阵为 $A,A$ 的最小多项式称为 $f$ 的最小多项式

等价定义： 线性变换 $f$ 的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式称为 $f$ 的最小多项式

设 $C(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{C_1}\dots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{C_s}$，$m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{t_1}\dots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{t_s}$，有 $1\le t_j\le C_j$

定理： 设 $m(x),C(x)$ 分别是矩阵 A 的最小多项式和特征多项式， 则 $m(x)|C(x)$，并且，对 ${\lambda }_0\in C,m({\lambda }_0)=0\iff C({\lambda }_0)=0$

3-2 可对角化问题

1. $n\times n$ 矩阵 A 相似于对角阵 $\iff A$ 有 n 个线性无关的特征向量
2. 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关
3. 若 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_s$ 是矩阵 A 的互不相同的特征值， ${\eta }_{1i},{\eta }_{2i},\dots ,{\eta }_{t_{i}i}$ 是 A 相应于特征值 ${\lambda }_i$ 的线性无关的特征向量，则 $${\eta }_{11},{\eta }_{21},\dots ,{\eta }_{t_{1}i},{\eta }_{12},{\eta }_{22},\dots ,{\eta }_{t_{2}2},\dots ,{\eta }_{1s},{\eta }_{2s},\dots ,{\eta }_{t_{s}s}$$ 线性无关

线性变换的可对角化问题

定理： 假设 V 是 n 维线性空间，$f\in Hom(V,V)$。则

1. $f$ 可对角化当且仅当 $f$ 有 n 个线性无关的特征向量
2. $f$ 的属于不同特征值的特征向量线性无关
3. 若 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_s$ 是矩阵 A 的互不相同的特征值， ${\eta }_{1i},{\eta }_{2i},\dots ,{\eta }_{t_{i}i}$ 是 $f$ 相应于特征值 $\lambda$ 的线性无关的特征向量，则 $${\eta }_{11},{\eta }_{21},\dots ,{\eta }_{t_{1}i},{\eta }_{12},{\eta }_{22},\dots ,{\eta }_{t_{2}2},\dots ,{\eta }_{1s},{\eta }_{2s},\dots ,{\eta }_{t_{s}s}$$ 线性无关

3-2-1 特征子空间

定义： 设 $f\in Hom(V,V)$，${\lambda }_0$ 是 $f$ 的特征值，称 $$V_{{\lambda }_0}=\{\eta \in V|f(\eta )={\lambda }_0\eta \}$$ 为 $f$ 的相应于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征子空间

相应于特征值 ${\lambda }_0$，$f$ 刚好有 $dim{V}_{{\lambda }_0}$个线性无关的特征向量

定理： 设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_s$ 为 $f$ 的相异特征值，则 $V_{{\lambda }_1}+V_{{\lambda }_2}+\cdots +V_{{\lambda }_s}$ 是直和。

定理： 假设 $dimV=n,f\in Hom(V,V)$ 的特征多项式为 $$C(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{C_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{C_2}\dots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{C_s}$$ 则存在 V 的基使得 $f$ 的矩阵是对角阵的充分必要条件是 $$dim{V}_{{\lambda }_1}+dim{V}_{{\lambda }_2}+\cdots +dim{V}_{{\lambda }_s}=n$$

3-2-2 几何重数

定理： 设 $f\in Hom(V,V)$ 的特征多项式是 $C(\lambda )={\Pi }_{i=1}^s(\lambda -{\lambda }_i{)}^{c_i}$，则 $dim{V}_{{\lambda }_i}\le c_i$。 其中 $dim{V}_{{\lambda }_i}$ 称为几何重数，$c_i$ 称为代数重数

定理： 设 $f\in Hom(V,V)$ 的特征多项式是 $C(\lambda )={\Pi }_{i=1}^s(\lambda -{\lambda }_i{)}^{c_i}$，则下述条件是等价的：

1. $f$是可对角化的
2. $\forall i,dim{V}_{{\lambda }_i}=c_i$
3. $V=V_{{\lambda }_1}\oplus V_{{\lambda }_2}\oplus \cdots \oplus V_{{\lambda }_s}$

3-2-3 最小多项式与可对角化

引理： 若 n 阶矩阵 $M_i$ 满足 $M_1{M}_2\dots M_s=O$，则 ${\sum }_{i=1}^{s}r(M_i)\le (s-1)n$

定理： $n\times n$ 矩阵 A 相似于对角阵当且仅当 A 的最小多项式无重根

对角阵的行列式等于其主对角线元素之积

3-3 若当标准形

3-3-1 Jordan 形矩阵

定义：

1. 形如 $\left(\begin{array}{cccc}a& 1& & \\ & a& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & a\end{array}\right)$ 的矩阵称为 Jordan 块
2. 形如 $J=\left(\begin{array}{cccc}{J}_1& & & \\ & J_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s\end{array}\right)$（其中 $J_i$ 均为 Jordan 块）的矩阵称为 Jordan 形矩阵

若当块一定可以被开方

3-3-2 Jordan 标准形

对角阵是一种若当形矩阵

定义： 若 $J$ 是若当形矩阵，且矩阵 $A$ 与 $J$ 相似，则称 $J$ 是 $A$ 的若当标准形

设 $A=PJ{P}^{-1}$，则 $P$ 的各列 为 $J$ 对应列的特征值对应的特征向量

3-3-3 唯一性

若 $J=\left(\begin{array}{cccc}{J}_1& & & \\ & J_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s\end{array}\right)$ 是矩阵 $A$ 的 Jordan 标准形，$K=\left(\begin{array}{cccc}{J}_{i_1}& & & \\ & J_{i_2}& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{i_s}\end{array}\right)$ 其中，$J_{i_1},J_{i_2},\dots ,J_{i_s}$ 是 $J_1,J_2,\dots ,J_s$ 的一个排列，则 K 也是 A 的 Jordan 标准形。

下面的定理表明：在承认存在性的前提下，除了相差 Jordan 块的次序外，每个矩阵的 Jordan 标准形是唯一的

定理： （假设矩阵的Jordan标准形是存在的）设 ${\lambda }_0$ 是 n 阶方阵 A 的特征值， 则对任意一正整数 k，A 的 Jordan 标准形中主对角元为 ${\lambda }_0$ 且阶数为 k 的 Jordan 块的块数等于 $$r(B^{k-1})-2r(B^k)+r(B^{k+1})$$ 其中，$B=A-{\lambda }_{0}I$

$r(N^k)=\{\begin{array}{ll}n-k,& k\le n\\ 0,& k\ge n\end{array}$，并约定 $N^0=I$

$J$ 中阶数为 $k$ 的 Jordan 阵块数：$r(J-{\lambda }_{0}I{)}^{k-1}-2r(J-{\lambda }_{0}I)k+r(J-{\lambda }_{0}I{)}^{k+1}$

可逆矩阵的 k 次方后的秩不变

仅有 Jordan 阵顺序不同的 Jordan 标准形算作同一个

$r(A-I)=r(J-I)$

一般对于重数不超过3的特征值$\lambda$，$n-r(A-\lambda I)$ 为以 $\lambda$ 为对角线元素的 Jordan 块的数量

Jordan标准形与最小多项式

定理： 若 $M=\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}$ 则矩阵 $M,A,B$ 的最小多项式间有关系：$m_M(\lambda )=[m_A(\lambda ),m_B(\lambda )]$

定理： 假设矩阵 A 的最小多项式是 $m(\lambda )={\Pi }_{i=1}^s(\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_i}$， 则 $r_i$ 即是 A 的 Jordan 标准形中以 ${\lambda }_i$ 为主对角元的 Jordan 块的最高阶数。 特别地，A 相似于对角阵 $\iff A$ 的最小多项式无重根

相似矩阵有相同的迹，相同的秩

3-4 特征值的分布

3-4-1 谱半径和盖尔圆

定义： 设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，称 A 的特征值的集合为 A 的谱， 称 A 的特征值的模的最大值为 A 的谱半径，记为 $\rho (A)$。记 $$R=|a_{i1}|+\cdots +|a_{ii-1}|+|a_{ii+1}|+\cdots +|a_{in}|$$ $$C=\{z||z-a_{ii}|\le R_i\}$$ 称之为 A 的第 i 个盖尔圆； 称 $G={\cup }_{i=1}^n{C}_i$ 为 A 的盖尔圆系

3-4-2 第一圆盘定理

定理： 矩阵 A 的特征值必定在 A 的盖尔圆系中

注意：并不是每个盖尔圆上都有特征值，但是在盖尔圆之外没有特征值.

3-4-3 第二圆盘定理

定义： 设 $A\in C^{n\times n}$，在 A 的 n 个盖尔圆中，有 k 个圆构成一连通区域， 但与其余 $n=k$ 个圆不相交，则称这个连通区域为 $k$ 区

定理： A 的盖尔圆的 $k$ 区中有且仅有 A 的 k 个特征值

$A\sim A^T$

推论： 如果 A 的 n 个盖尔圆互不相交，则 A 有 n 个互不相等的特征值

3-4-4 谱半径的估计

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ $${\rho }_1=\underset{1\le i\le n}{\max }\left\{\sum _{j=1}^n|a_{ij}|\right\},{\rho }_2=\underset{1\le j\le n}{\max }\left\{\sum _{i=1}^n|a_{ij}|\right\}$$ 则 $\rho (A)\le {\rho }_1,{\rho }_2$