第0章 复习与引申

0-1 矩阵的代数运算

相似

矩阵相似 ：可以通过初等行/列变换转换

• 约当型： 与原矩阵相似的简单矩阵
• 范数：用于刻划矩阵大小，$\parallel M-N\parallel$→$M$与$N$的差
• 广义逆矩阵： 对方程 $AX=b$：
  1. 若 $A$ 可逆，则 $X=A^{-1}b$
  2. 若 $A$ 不可逆，则 $X=Gb$，其中$G$为广义逆矩阵

矩阵乘法中的 非零零因子 ： $A\ne 0$，$B\ne 0$，但 $AB=0$，则 $A$ 为左零因子，$B$ 为右零因子

常见的类对角矩阵：$N_{n\times n}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& & & \\ & 0& 1& & \\ & & 0& \ddots & \\ & & & \ddots & 1\\ & & & & 0\end{array}\right),$ $N^2=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 1& & \\ & 0& 0& \ddots & \\ & & 0& \ddots & 1\\ & & & \ddots & 0\\ & & & & 0\end{array}\right),$ $\dots ,$ $N^{n-1}=\left(\begin{array}{cccc}\ddots & & 0& 1\\ & \ddots & 0& 0\\ & & \ddots & \\ & & & \ddots \end{array}\right),$ $N^n=0$

可交换

可交换 ：$AB=BA$

数量矩阵： $kI$，其中 $k$ 为实数，$I$ 为单位阵

• 若A与任意同阶矩阵可交换，则A为数量矩阵

矩阵的乘法交换律不成立，乘法消去律也不成立，但乘法分配律成立

当矩阵AB=BA时，二项式定理成立

分块矩阵

分块矩阵 ：将A、B两矩阵分块： $A={\left(A_{ij}\right)}_{p\times q},B={\left(B_{ij}\right)}_{q\times r}$

在A的列的分法与B的行的分法相一致时，矩阵 $C=AB$ 也可以写成分块矩阵： $C=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \dots & c_{1r}\\ c_{21}& c_{22}& \dots & c_{2r}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{p1}& c_{p2}& \dots & c_{pr}\end{array}\right),$ $C_{ij}=A_{i1}{B}_{1j}+A_{i2}{B}_{2j}+\cdots +A_{iq}{B}_{qj}$

秩

秩 ：矩阵内最多呈线性无关的列向量数

若 $AB=0$ ，则 $r(A)+r(B)\le n$

若 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_t$ 可由 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 线性表示，则 $r\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_t\}\le r\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}$

0-2 线性方程组

设方程组 $Ax=b,A=(a_{ij}{)}_{s\times n},b=(b_1{b}_2\dots b_s{)}^T$，则有

1. 有解 $\iff r(A)=r(A,b)$
2. 若 $r(A)=r(A,b)=r$，则有唯一解 $\iff r=n$
3. 若 $r(A)=r(A,b)=r<n$，则通解中有 $n-r$ 个自由未知量

基础解系

基础解系：若 $\{{\eta }_1,\dots ,{\eta }_t\}$ 满足：

1. 是 $Ax=0$ 的解
2. 线性无关
3. $Ax=0$的任一解都可被其线性表示 则其为 $Ax=0$ 的基础解系

对于齐次线性方程组 $Ax=b,A=(a_{ij}{)}_{s\times n}$，有

1. 有非零解 $\iff r(A)<n$（系数矩阵的秩小于未知量个数）
2. 若 $r(A)<n$，则其基础解系中含 $n-r$ 个解向量
3. 若 $r(A)<n$，则其任意 $n-r$ 个线性无关的解向量是其基础解系

阶梯形矩阵

满足下述条件的矩阵称为阶梯形矩阵：

1. 元素全为零的行均在矩阵的下方
2. 非零首元所在列的下标随着行标的增大而严格增大

满足下述条件的阶梯形矩阵称为简化阶梯形矩阵：

1. 各个非零行的非零首元均为 1
2. 除了非零首元外，非零首元所在的列其余元素都为零

Gauss 消元法

1. 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵
2. 确定自由未知量：
   1. 找每行的非零首元
   2. 找对应未知量
3. 通过回代法用自由未知量表示2.2中的未知量（此步可借助简化阶梯形矩阵）

共轭转置 $A^H$：$A=(a_{ij}),A^H=(\overline{a_{ji}})$，即先复数上的共轭，再转置

矩阵的秩等于

• 其非零子式的最高阶数
• 或等于其行/列向量的的秩
• 或以 $A$ 为基础解系的齐次线性方程组的解的秩

线性⽅程组恒有解 $\iff$ 系数矩阵的秩 = 增广矩阵的秩

${\overline{\eta }}^T{\overline{A}}^T=(\overline{A}\cdot \overline{\eta }{)}^T=(\overline{A\eta }{)}^T={\left(A\eta \right)}^H$

若阶梯矩阵有全零行，则有无穷多个解

0-3 向量

极大线性无关组

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 的部分组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\dots ,{\alpha }_{i_r}$ 满足

1. ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\dots ,{\alpha }_{i_r}$ 线性无关（可用列方程表示）

2. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 中每个向量均可由 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\dots ,{\alpha }_{i_r}$ 线性表示，则称 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\dots ,{\alpha }_{i_r}$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 的一个极大无关组

3. 若一向量组的极大无关组中含 $r$ 个向量，则称这个向量组的秩为 $r$

4. 若向量组的秩为 $r$，则该向量组中任意 $r$ 个线性无关的向量均为其极大无关组

判断是否线性相关： $x_1{a}_{i_1}+\cdots +x_r{a}_{i_r}=\vec{0}$

• 若有非零解，则线性相关
• 若仅有全零解，则线性无关

矩阵的秩

有关秩的不等式：1. $r(A+B)\le r(A)+r(B)$ 2. $r(AB)\le r(A),r(B)$ 3. 若 $A_{s\times x}{B}_{n\times t}=0$，则 $r(A)+r(B)\le n$ 4. $r(A_{s\times x}{B}_{n\times t})\ge r(A)+r(B)-n$ 5. 对于 $M=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)$，$r(M)\ge r(A)+r(B)$

3 是 4 的特殊情况

初等阵：可以由单位阵经一次初等变换得到的矩阵

幂等矩阵：$A^2=A$

可逆矩阵：又称满秩矩阵能通过初等变换得到单位阵（理由：$Ax=b,x=A^{-1}b$，可知方程有唯一解，即系数矩阵相似于单位阵）

• 可知可逆矩阵的行、列向量线性无关（初等变换后满秩）
• 可逆矩阵行列式不为0，特征值全不为0

不可逆矩阵：若 $A$ 为不可逆矩阵，则必有 $X\ne 0$，使得 $AX=0$

• 可知不可逆矩阵的行、列向量线性相关（初等变换后有全零行）

线性无关=可逆，线性相关=不可逆

满秩分解：对于$s\times n$ 的矩阵 $A$,取$s\times r$ 的矩阵 $B$ 和 $r\times n$ 的矩阵 $C$，使得 $A=BC$，其中 $r=r(A)$

• 可取 $B$ 为 $A$ 的极大线性无关组，$C$ 则为各列用极大线性无关组表示时的对应系数
  • 也就是将 $A$ 化为简化阶梯形矩阵后，$B$ 为非零首元所在的 $r$ 个列的 原 $A$ 矩阵的列 组成的 $m\times r$ 矩阵
  • $C$ 则为 非零首元所在的 $r$ 个行的 $A$ 的简化阶梯形矩阵的行 组成的 $r\times n$ 矩阵