傅里叶变换	拉普拉斯变换	Z变换
定义	（t换为k，jω换为$e^j\omega$得DTFT）
正变换	$F(j\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$	$F(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}dt$	$F(z)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }f(k)z^{-k}$
反变换	$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega$	$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -\infty }^{\sigma +\infty }F(s)e^{-st}ds$
性质
线性
延时特性	$f(t-t_0)\leftrightarrow F(j\omega )e^{-j\omega t_0}$	$f(t-t_0)\leftrightarrow F(s)e^{-s{t}_0}$	增序：$f(k+n)\leftrightarrow z^n[F(z)-{\sum }_{i=0}^{n-1}{z}^{-i}f(i)]$
移频特性	$f(t)e^{j{\omega }_{c}t}\leftrightarrow F[j(\omega -{\omega }_c)]$	$f(t)e^{s_{0}t}\leftrightarrow F(s-s_0)]$	减序：$f(k-n)\leftrightarrow z^{-n+1}[F(z)+{\sum }_{i=-1}^{-n}{z}^{-i}f(i)]$
尺度变换	$f(at)\leftrightarrow \frac{1}{\Vert a\Vert }F(j\frac{\omega }{a})$	$f(at)\leftrightarrow \frac{1}{\Vert a\Vert }F(\frac{s}{a})$	$a^{k}f(k)\leftrightarrow F(\frac{z}{a})$
奇偶虚实性
对称特性	$f(t)\leftrightarrow F(j\omega )⟺F(jt)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega )$	$f(t)\leftrightarrow F(s)⟺F(t)\leftrightarrow 2\pi jf(-s)$
时域微分	$\frac{d}{dt}f(t)\leftrightarrow j\omega F(j\omega )$	$\frac{d}{dt}f(t)\leftrightarrow sF(s)-f(0^{-})$
时域积分	${\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau \leftrightarrow \pi F(0)\delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }F(j\omega )$	${\int }_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \leftrightarrow \frac{F(s)}{s}$
频域微分	$-jtf(t)\leftrightarrow \frac{d}{d\omega }F(j\omega )$	$tf(t)\leftrightarrow -\frac{d}{ds}F(s)$	$kf(k)\leftrightarrow -z\frac{d}{dz}F(z)$
频域积分	$\pi f(0)\delta (t)-\frac{f(t)}{jt}\leftrightarrow {\int }_{-\infty }^{\omega }F(j\Omega )d\Omega$	$\frac{f(t)}{t}\leftrightarrow {\int }_s^{\infty }F(p)dp$
卷积定理	$\{\begin{array}{l}{f}_1(t)\ast f_2(t)\leftrightarrow F_1(j\omega )F_2(j\omega )\\ f_1(t)f_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi }{F}_1(j\omega )\ast F_2(j\omega )\end{array}$	$\{\begin{array}{l}{f}_1(t)\ast f_2(t)\leftrightarrow F_1(s)F_2(s)\\ f_1(t)f_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2j\pi }{F}_1(s)\ast F_2(s)\end{array}$	$f_1(k)\ast f_2(k)\leftrightarrow F_1(z)F_2(z)$
初值定理		$f(0^{+})={\lim }_{t\to 0^{+}}f(t)={\lim }_{s\to \infty }sF(s)$等	$f(0)={\lim }_{z\to \infty }F(z)$
终值定理		$f(\infty )={\lim }_{t\to \infty }f(t)={\lim }_{s\to 0}sF(s)$等	$f(\infty )={\lim }_{z\to 1}(z-1)F(z)$

常用变换	傅里叶变换	拉普拉斯变换	Z变换
鼠：$\delta (t)$	1	$1$
牛：$C$	$2\pi C\delta (\omega )$
虎：$ϵ(t)$	$\pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }$	$\frac{1}{s}$	$\frac{z}{z-1}$
兔：$sgn(t)$	$\frac{2}{j\omega }$
龙：$e^{j{\omega }_{c}t}$	$2\pi \delta (\omega -{\omega }_c)$
蛇：$cos{\omega }_{c}t$	$\pi [\delta (\omega +{\omega }_c)+\delta (\omega -{\omega }_c)]$	$cos{\omega }_{c}tϵ(t)\leftrightarrow \frac{s}{s^2+{\omega }_c^2}$	$cos\beta kTϵ(k)\leftrightarrow \frac{z(z-cos\beta T)}{z^2-2zcos\beta T+1}$
马：$sin{\omega }_{c}t$	$j\pi [\delta (\omega +{\omega }_c)-\delta (\omega -{\omega }_c)]$	$sin{\omega }_{c}tϵ(t)\leftrightarrow \frac{{\omega }_c}{s^2+{\omega }_c^2}$	$sin\beta kTϵ(k)\leftrightarrow \frac{zsin\beta T}{z^2-2zcos\beta T+1}$
羊：$\frac{1}{2}{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{A}_n{e}^{jn\Omega t}$	$\pi {\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{A}_n\delta (\omega -n\Omega )$
猴：${\delta }_T(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$	${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{e}^{jnT\omega }=\Omega {\delta }_{\Omega }(\omega ),\Omega =\frac{2\pi }{T}$
鸡：$A(1-\frac{\Vert t\Vert }{\tau }),\Vert t\Vert \le \frac{\tau }{2}$	$A\tau S{a}^2(\frac{\tau }{2}\omega )$
狗：$A{G}_{\tau }(t)=A,\Vert t\Vert \le \frac{\tau }{2}$	$A\tau Sa(\frac{\tau }{2}\omega )$
猪：$e^{-\alpha t}ϵ(t),\alpha >0$	$\frac{1}{\alpha +j\omega }$	$\frac{1}{s+\alpha }$
$e^{-\alpha \Vert t\Vert }ϵ(t),\alpha >0$	$\frac{2\alpha }{{\alpha }^2+{\omega }^2}$
$e^{\alpha t}{t}^nϵ(t)$		$\frac{n!}{(s-\alpha {)}^{n+1}}$
${\delta }^{(n)}(t)$		$s^n$
$v^kϵ(k)$			$\frac{z}{z-v}$
$k{v}^{k-1}ϵ(k)$			$\frac{z}{(z-v{)}^2}$
$C_k^n{v}^{k-n}ϵ(k)$			$\frac{z}{(z-v{)}^{n+1}}$